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Fuzzy-Systeme


In meiner Zeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter an der Technischen Universität Darmstadt habe ich am Fachgebiet Regelungstheorie und Robotik eine Theorie rekurrenter Fuzzy-Systeme entwickelt. Aber was sind überhaupt Fuzzy-Systeme und im Speziellen rekurrente Fuzzy-Systeme? Eine rudimentäre Antwort gibt der folgende Text. Einen etwas detaillierteren Zugang bieten die beiden populärwissenschaftlichen Artikel "Rekurrente Fuzzy-Systeme" und "Modellierung ökologischer Systeme mit rekurrenten Fuzzy-Systemen", während fundierte und ausführliche Darstellungen der Sachverhalte in den Fachzeitschriften bzw. in meiner Doktorarbeit zu finden sind.

Was sind Fuzzy-Systeme?

In der klassischen Logik, der unverzichtbaren Basis der Mathematik, denkt man nur in den Kategorien "wahr" oder "falsch". Zwischenstufen gibt es nicht. Diese harten Grenzen sind im Alltag allerdings nicht einzuhalten bzw. nicht immer erwünscht. Oft sind die Übergänge zwischen wahren und falschen Aussagen im Alltag fließend und unscharf (engl.: fuzzy). Will man zum Beispiel überprüfen, ob die Wassertemperatur für ein Bad angenehm ist, so macht es wenig Sinn, dies für eine Temperatur von 24 Grad Celsius zu bejahen und für 23.9 Grad zu verneinen. Sicherlich sind 26 Grad angenehm und 18 Grad unangenehm, aber dazwischen gibt es einen fließenden Übergang.

Die Logik lässt sich durch Zahlen darstellen. In der Regel werden wahren Aussagen ein "Wahrheitswert" von Eins und falschen Aussagen ein Wahrheitswert von Null zugewiesen. Die unscharfen Übergänge zwischen wahren und falschen Aussagen werden in der Fuzzy-Logik durch Funktionen beschrieben, die nicht nur die Werte Null und Eins, sondern auch alle Zwischenwerte annehmen können.

Der große Vorteil der Belegungen von Aussagen mit Zahlenwerten für ihren Wahrheitsgrad ist, dass Verknüpfungen und Schlussfolgerungen aus diesen Aussagen rein formal auf deren Wahrheitsgehalt hin überprüft werden können. Sind beispielsweise die Aussagen "Die Wassertemperatur ist angenehm" und die Regel "Wenn die Wassertemperatur angenehm ist, dann halte ich es lange in der Badewanne aus." beide wahr (mit Wahrheitswert: Eins), so kann man schließen, dass die Aussage "Ich halte es lange in der Badewanne aus" auch wahr ist (mit Wahrheitswert Eins). Einen entsprechenden Mechanismus gibt es auch für die Fuzzy-Logik. Die mathematische Beschreibung dieser Übertragung von Wahrheitswerten von den Voraussetzungen von Regeln auf die Schlussfolgerungen von Regeln nennt man ein Fuzzy-System. Bewerte ich beispielsweise die Wassertemperatur nur zu einem gewissen Teil als wahr (mit Wahrheitswert 0.8), weil zum Beispiel die Temperatur schon ein wenig zu kühl ist, so kann ich die Schlussfolgerung auch nur zu diesem Wahrheitsgehalt als wahr einstufen; denn so richtig lange halte ich es dann eben doch nicht in der Wanne aus.

Dieses etwas hemdsärmelige Beispiel des Bades soll nur ein Gefühl für die Wirkungsweise von Fuzzy-Systemen vermitteln. Die Fähigkeit der Fuzzy-Logik und der Fuzzy-Systeme, mit unscharfen Begriffen wie "angenehm", "lange", "viele", "schnell", etc. umzugehen, erlaubt also eine Mathematisierung von sprachlich formulierten Regeln, die Zusammenhänge grob beschreiben. Mit der mathematischen Formulierung gelingt es nun, dieses Wissen in technischen Geräten umzusetzen; sei es zur automatisierten Qualitätssicherung, Steuerung von Maschinen, Diagnose von Fehlerquellen oder zur Auswertung von Datenreihen, usw.

Was sind rekurrente Fuzzy-Systeme?

Die oben skizzierten Fuzzy-Systeme beschränken sich im Normalfall auf Regeln, die einen statischen Zusammenhang zwischen den Voraussetzungen und Schlussfolgerungen beschreiben. Man kann sich allerdings auch vorstellen, dass die Regeln eine Änderung einer Größe beschreiben. Beispielsweise beschreibt die Regel "Wenn das Badewasser zu kalt ist und ich heißes Wasser dazugebe, dann wird das Badewasser angenehm" eine Veränderung in der Wassertemperatur. Diese Änderung ist allerdings nicht statisch, sondern dynamisch, denn die Voraussetzung der Regel ändert sich mit der Auswertung der Regel. Einige Zeit später würde so zum Beispiel die Regel "Wenn das Badewasser angenehm ist und ich heißes Wasser dazugebe, dann wird das Badewasser zu heiß" Anwendung finden. Die neu eingeführte zeitliche Komponente macht aus dem (statischen) Fuzzy-System ein (dynamisches) rekurrentes Fuzzy-System. Das Attribut "rekurrent" (d.h. wiederholend) weist darauf hin, dass die Regeln wiederholt ausgewertet werden und zwar jeweils mit den sich neu ergebenden Werten.

Die Frage beim Einsatz von Fuzzy-Systemen ist generell, ob diese das sprachlich formulierte Wissen auch adäquat mathematisch umsetzen. Wenn nicht, so sind üblicherweise die Regeln leicht zu modifizieren. Bei rekurrenten Fuzzy-Systemen muss nicht nur die einmalige Auswertung der Regeln hinreichend genau passen, sondern auch die gesamte zeitliche Entwicklung der sprachlich formulierten Vorstellung folgen. Die Herausforderung bei der Untersuchung rekurrenter Fuzzy-Systeme ist also, den Zusammenhang zwischen den Regeln und der zeitlichen Entwicklung der sich verändernden Werte aufzudecken. Die ersten Schritte dazu habe ich in meiner Doktorarbeit (siehe Veröffentlichungen) gemacht.

Anwendungen rekurrenter Fuzzy-Systeme

Rekurrente Fuzzy-Systeme kann man nicht nur als hübschen mathematischen Modellansatz rigoros untersuchen und Theorien über sein Verhalten aufstellen. Nein, rekurrente Fuzzy-Systeme lassen sich auch in vielfältiger Weise zur Problemlösung einsetzen. In meiner Arbeit habe ich zum Beispiel ein Modell für das Verhalten von Autofahrern auf Autobahnen in Zusammenarbeit mit Studenten entwickelt. Die Genauigkeit des Modells, welches auf rein subjektiv aufgestellten Regeln beruht, ist verblüffend. Einen Einblick liefert der folgende Film (1.6 MB). Darin ist zu sehen, wie sich Autofahrer an einem sternförmig markierten Hindernis vorbeiquälen. Die verschiedenen Fahrertypen sind durch verschiedene Zeichen dargestellt und ihre Geschwindigkeit ist farblich codiert:

Momentaufnahme der Verkehrssimulation

Industriell werden rekurrente Fuzzy-Systeme zur Fehlerdiagnose in Stranggießanlagen eingesetzt. Dabei bewerten sie ein Messsignal. Aus dem Signalverlauf wird durch das rekurrente Fuzzy-System ein Gefahrengrad für das Auftreten eines Fehlers bestimmt. Der Gefahrengrad wiederum beeinflusst die Auswertung des Messsignals. Er taucht also sowohl in der Voraussetzung als auch in der Schlussfolgerung der Regeln auf und der neue Wert wird immer wieder zur Bewertung des Messsignals herangezogen. So gelingt es, das Messsignal auf eine bestimmte Folge von Merkmalen zu untersuchen, die für eine Gefahrenquelle charakteristisch ist.